Question

10．如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，一抛物线过点B、C和D，点D与点B关于直线y=x对称．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BD和抛物线的解析式．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△BCM的周长最小，求出此时M的坐标，并求出△BCM的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直线上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，然后根据轴对称的性质可求出点C、D的坐标；
（2）只需运用待定系数法就可求出直线BD和抛物线的解析式；
（3）由于点C，D是抛物线与x的交点，直接求出BD，即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（-1，0）、点B（0，3）．
∵△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，
∴点C（1，0）．
∵点D与点B关于直线y=x对称，
∴点D（3，0）；

（2）设直线BD的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-x+3．
设过点B、C和D的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴过点B、C和D的抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（3）BD与抛物线的对称轴的交点就是所找的点M，此时△BCM的周长最小，最小值为BC+CD，
由（2）知，直线BD解析式为y=-x+3，
当x=2时，y=1，
∴M（2，1）
由（1）知，B（03，），D（3，0），
∴BD=3$\sqrt{2}$，
∴C（1，0），
∴BC=$\sqrt{10}$，
∴△BCM的周长最小为BC+CD=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$，
即：点M（2，1）时，△BCM的周长最小为$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了轴对称的性质、运用待定系数法求直线和抛物线的解析式、直线上点的坐标特征等知识，找出点M的位置是解本题的关键．