【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的圆O交斜边AB于D.过D作DE⊥AC于E,将△ADE沿直线AB翻折得到△ADF.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为10,sin∠FAD=,延长FD交BC于G,求BG的长.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)由△ADE沿直线AB翻折得到△ADF,得到∠DAE=∠DAF,∠AED=∠F=90°,由于OA=OD,于是得到∠DAE=∠ODA,根据平行线的判定定理得到OD∥AF,根据平行线的性质得到OD⊥DF,于是得到结论;
(2)连接DC,由于AC是 O的直径,即CD⊥AB;又FD与BC均是 O的切线且相交于点G由切线长定理可得:GD=GC,于是得到∠GDC=∠GCD,由于GD是Rt△BDC斜边上的中线,即GD=BC,由于△ADE沿直线AB翻折得到△ADF,得到sin∠DAE=sin∠DAF=,解直角三角形得到sin∠DAC===,得DC=6,由勾股定理得AD=8;根据三角形相似即可得到结论.
(1)证明:
∵△ADE沿直线AB翻折得到△ADF,
∴∠DAE=∠DAF,∠AED=∠F=90°,
又∵OA=OD,
∴∠DAE=∠ODA,
∴∠DAF=∠ODA,
∴OD∥AF,
∴∠ODF+∠F=180°,
∴∠ODF=90°,
∴OD⊥DF,
∴DF是O的切线;
(2)连接DC,
∵AC是圆O的直径,
∴∠ADC=90°,即CD⊥AB;
又∵FD与BC均是圆O的切线且相交于点G,
由切线长定理可得:GD=GC,
∴∠GDC=∠GCD,
又∵Rt△BDC中,∠GCD+∠B=90°,∠GDC+∠GDB=90°,
∴∠B=∠GDB,
∴GD=GB,
∴GD是Rt△BDC斜边上的中线,即GD=BC,
∵△ADE沿直线AB翻折得到△ADF,
∴∠DAE=∠DAF,
∴sin∠DAE=sin∠DAF=,
又∵圆O的半径为5,
∴AC=10,
Rt△DAC中,∠ADC=90°,
∴sin∠DAC=DCAC=DC10=,得DC=6,
由勾股定理得AD=8;
在Rt△ADC与Rt△ACB中,∠ADC=∠ACB=90°,∠DAC=∠BAC,
∴Rt△ADC∽Rt△ACB,
∴,即,解得BC=;
∴GB=GD=BC=.
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【题目】一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故,立即发出了求救信号,一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以每小时40海里的速度前往救援,则海警船到达事故船C处所需的时间大约为(单位:小时)( )
A. B. C. sin37°D. cos37°
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【题目】在平面直角坐标系中,函数()的图象经过点(4,1),直线与图象交于点,与轴交于点.
(1)求的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象在点,之间的部分与线段,,围成的区域(不含边界)为.
①当时,直接写出区域内的整点个数;
②若区域内恰有4个整点,结合函数图象,求的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与函数的图象交于点A(1,2).
(1)求的值;
(2)过点作轴的平行线,直线与直线l交于点B,与函数的图象交于点,与轴交于点D.
①当点C是线段BD的中点时,求的值;
②当时,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,已知矩形OABC,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,其中A(2,0),C(0,3),点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动,连接BP,作BE⊥PB交x轴于点E,连接PE交AB于点F,设运动时间为t秒.在运动的过程中,写出以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似时t的值为_____________
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【题目】为了预防“流感”,某学校对教室采用药熏法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克/立方米)与药物点燃后的时间x(分钟)成正比例,药物燃尽后,y与x成反比例(如图所示).已知药物点燃后4分钟燃尽,此时室内每立方米空气中含药量为8毫克.
(1)求药物燃烧时,y与x之间函数的表达式;
(2)求药物燃尽后,y与x之间函数的表达式;
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒有效时间有多长?
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【题目】如图,抛物线经过点、.是线段上一动点(点不与、重合),过点作轴的垂线交抛物线于点,交线段于点.过点作,垂足为点.
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(1)求该抛物线的解析式;
(2)试求线段的长关于点的横坐标的函数解析式,并求出的最大值.
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【题目】小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验,他们共做了60次实验,实验的结果如下:
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据实验,一次实验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗?为什么?
(3)小颖和小红各投掷一枚骰子,用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,且AB =6,C是⊙O上一点,D是的中点,过点D作⊙O的切线,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD.
(l)求证:AF⊥EF;
(2)填空:
①当BE= 时,点C是AF的中点;
②当BE= 时,四边形OBDC是菱形,
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