如图.是从边长为40cm.宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm.宽为10cm的矩形后.剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割.重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等.接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求.设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线.以及拼题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．
（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹）；
（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好一些？说说你的看法和理由．

分析：（1）拼接后正方形的边长为

302+102

cm，它恰是以30cm和10cm为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30cm和10cm的直角三角形，这是解本例的关键；
（2）分别求出图1、图2和图3的接缝长，比较得出最优方案．

解答：

解：（1）如上图；
（2）图1和图2的方案好些．
图1的接缝长为：30+30+10=70cm
图2的接缝长为：20+10×

+30+10+10×

=70cm
图3的接缝长为：30+30+10×

+10×

+10=80cm．
∴图1和图2的方案好些．

点评：本题综合考查正方形的判定、勾股定理的应用和正方形的性质．近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对学生动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．

练习册系列答案

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为4个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以2个单位/秒的速度向终点B点运动，点Q从B点出发以1个单位/秒的速度向

终点O点运动，两个点同时出发，运动时间为t（秒）．
（1）请用t表示点P的坐标

（t，

t）或（t，4

t）

（t，

t）或（t，4

t）

和点Q的坐标

（4-t，0）

，其中t的取值范围是

0≤t≤2或2＜t≤4

；
（2）当t=

时，PQ⊥OA；当t=

时，PQ⊥AB；当t=

时，PQ⊥OB；
（3）△OPQ面积为S，求S关于t的函数关系式并指出S的最大值；
（4）若直线PQ将△OAB分成面积比为3：5两部分？求此时直线PQ的解析式；若不能，请说明理由．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

（2013•青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．

【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）

十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果

．
【研究方程】
提出问题：怎样图解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：x（x+2）=35．
（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）²或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？
几何建模：
（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割
（2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
归纳提炼：
当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．
根据题意，设a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点B出发，沿BC运动到点C，设点P（不与B、C重合）运动的路程为x，梯形APCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是

16-2x

，其中自变量x的取值范围是

0＜x＜4

．

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科目：初中数学 来源：2008年北京平谷区初三第一次模拟试卷及答案、数学试卷 题型：038

如图(1)是从长40 cm、宽30 cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20 cm、宽为10 cm的矩形后剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的的正方形工件．

李师傅的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有．由此可知正方形的边长等于两个直角边分别为30 cm和10 cm的直角三角形斜边的长．于是，画出如图(2)所示的正方形．

请你仿照李师傅的做法，确定一个与李师傅方法不同的割补方法，在图(1)的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为10 cm)中用虚线画出拼接后的正方形，并在下面的横线上写出接缝的长．(不写分析过程和画法)

解：接缝的长为________cm．

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科目：初中数学 来源：2013年初中毕业升学考试（山东青岛卷）数学（解析版） 题型：解答题

在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式

这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。

【研究速算】

提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？

几何建模：

用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：

（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。

（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果。