Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：①abc＜0；② ；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝ .其中正确结论的个数是（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】B
【解析】观察函数图象，发现：

开口向下a＜0；与y轴交点在y轴正半轴c＞0；对称轴在y轴右侧﹣ ＞0；顶点在x轴上方 ＞0．

①∵a＜0，c＞0，﹣ ＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，①成立；

②∵ ＞0，

∴ ＜0，②不成立；

③∵OA=OC，

∴xA=﹣c，

将点A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c中，

得：ac2﹣bc+c=0，即ac﹣b+1=0，③成立；

④∵OA=﹣xA，OB=xB，xAxB= ，

∴OAOB=﹣ ，④成立．

综上可知：①③④成立．

故答案为：①③④．

观察函数图像，由抛物线开口方向得a<0，由抛物线的对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2-4ac>0，加上a<0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（-c，0），再把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系即可对④进行判断，从而得出答案。