Question

【题目】在同一直线上的三点A，B，C，若满足点C到另两个点A，B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点）．具体地，当点C在线段AB上时，若＝2，则称点C是[A，B]的亮点；若＝2，则称点C是[B，A]的亮点；当C在线段AB的延长线上时，若＝2，称点C是[A，B]的暗点．例如，如图1，数轴上点A，B，C，D分别表示数﹣1，2，1，0．则点C是[A，B]的亮点，又是[A，D]的暗点；点D是[B，A]的亮点，又是[B，C]的暗点

（1）如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．

[M，N]的亮点表示的数是　 　，[N，M]的亮点表示的数是　 　；

[M，N]的暗点表示的数是　 　，[N，M]的暗点表示的数是　 　；

（2）如图3，数轴上点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．一只电子蚂蚁P从B出发以2个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为t秒．

①求当t为何值时，P是[B，A]的暗点；

②求当t为何值时，P，A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．

Answer 1

【答案】（1）2，0；10，﹣8；（2）①60秒；②t＝10或20或45或90秒

【解析】

（1）设其亮点或暗点表示的未知数，再根据定义列出方程；

（2）根据新定义列出进行解答便可．

解：（1）设[M，N]的亮点表示的数是x，根据定义有，

解得x＝2；

设[N，M]的亮点表示的数是y，根据定义有，

解得y＝0；

设[M，N]的暗点表示的数是z，根据定义有，

解得z＝10；

设[N，M]的暗点表示的数是k，根据定义有，

解得k＝﹣8；

故答案为：2；0；10；﹣8．

（2）①当P为[B，A]暗点时，P在BA延长线上且PB＝2PA＝120，t＝120÷2＝60秒

②P为[A，B]亮点时，PA＝2PB，40﹣2t﹣（﹣20）＝2×2t，t＝10；

P为[B，A]亮点时，2PA＝PB，2[40﹣2t﹣（﹣20）]＝2t，t＝20；

A为[B，P]亮点时，AB＝2AP，60＝2[﹣20﹣（40﹣2t）]，t＝45；

A为[P，B]亮点时，2AB＝AP，120＝﹣20﹣（40﹣2t），t＝90；

综上，t＝10或20或45或90．