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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在等边△ABC中，已知AB=8cm，线段AM为BC边上的中线．点N在线段AM上，且MN=3cm，动点D在直线AM上运动，连接CD，△CBE是由△CAD旋转得到的．以点C圆心，以CN为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点．

    （1）填空：∠DCE=
    60
    60
    度，CN=
    5
    5
    cm，AM=
    4
    		3
    4
    		3
    cm．
    （2）如图1当点D在线段AM上运动时，求出PQ的长．
    （3）当点D在MA的延长线上时，请在图2中画出示意图，并直接写出PQ=
    6
    6
    cm．
    当点D在AM的延长线上时，请在图3中画出示意图，并直接写出PQ=
    6
    6
    cm．
    分析：（1）根据旋转的性质可得∠ACD=∠BCE，然后求出∠DCE=∠ACB，从而得解；根据等边三角形的性质求出CM=
    1
    2
    BC，再利用勾股定理列式计算即可求出CN；在Rt△ACM中，利用勾股定理列式计算即可求出AM；
    （2）过点C作CF⊥PQ于F，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD=30°．根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CF=
    1
    2
    BC，连接CP，利用勾股定理列式求出PF，再根据垂径定理可得PQ=2PF，从而得解；
    （3）①点D在MA的延长线上时，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD，再根据等角的补角相等求出∠CBQ=∠CAM=30°，与（2）同理可求PQ；
    ②点D在AM的延长线上时，根据旋转的性质可得∠CBE=∠CAD=30°，与（2）同理可求PQ．
    解答：解：（1）∵△CBE是由△CAD旋转得到，
    ∴∠ACD=∠BCE，
    ∴∠DCE=∠BCD+∠BCE=∠BCD+∠CAD=∠ACB，
    ∵△ABC是等边三角形，
    ∴∠ACB=60°，
    ∴∠DCE=60°；
    ∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
    ∴BC=AB=8cm，
    CM=
    1
    2
    BC=
    1
    2
    ×8=4cm，
    在Rt△CMN中，CN=
    		CM2+MN2
    =
    		42+32
    =5cm；
    在Rt△ACM中，AM=
    		AC2-CM2
    =
    		82-42
    =4
    		3
    cm；

    （2）过点C作CF⊥PQ于F，
    ∵△ABC是等边三角形，AM为BC边上的中线，
    ∴∠CAD=
    1
    2
    ∠BAC=
    1
    2
    ×60°=30°，
    ∵△CBE是由△CAD旋转得到，
    ∴∠CBE=∠CAD=30°，
    ∴CF=
    1
    2
    BC=
    1
    2
    ×8=4cm，
    连接CP，则PC=CN=5cm，
    在Rt△PCF中，PF=
    		PC2-CF2
    =
    		52-42
    =3cm，
    由垂径定理得，PQ=2PF=2×3=6cm；

    （3）①如图，点D在MA的延长线上时，
    ∵△CBE是由△CAD旋转得到，
    ∴∠CBE=∠CAD，
    ∴∠CBQ=∠CAM=30°，
    与（2）同理可求PQ=6cm，
    ②如图，点D在AM的延长线上时，
    ∵△CBE是由△CAD旋转得到，
    ∴∠CBE=∠CAD=30°，
    与（2）同理可求PQ=6cm，
    综上所述，PQ的长度不变都是6cm．
    故答案为：（1）60，5，4
    		3
    ；（3）6，6．
    点评：本题是圆的综合题型，主要考查了等边三角形的性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理的应用，垂径定理，熟记各性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
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    		3
    B、
    81
    		3
    2
    C、
    81
    		3
    4
    D、
    81
    		3
    8

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