Question

如图，四边形ABCD是正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN．若tan∠AEN=

1

3

，DC+CE=10．
（1）求BE的长；
（2）求△ANE的面积；
（3）求sin∠ENB的值．

Answer 1

分析：（1）先由tan∠AEN=

1

3

，DC+CE=10可得出BE=

1

3

AB，在欧翻折变换的性质得出∠AEN=∠EAN，所以可以先设BE=a，从而求出AB=3a，CE=2a进而求出a的值，求出BE的长；
（2）由（1）中a的值可得出AB=6，CE=4．求出底AD的长，然后再由tan∠AEN与边的关系，求出高，最后利用面积公式求面积；
（3）sin∠ENB的值用正弦定义求即可．

解答：解：（1）由折叠可知：MN为AE的垂直平分线，
∴AN=EN，
∴∠EAN=∠AEN（等边对等角），
∴tan∠AEN=tan∠EAN=

1

3

，
∴设BE=a，AB=3a，则CE=2a，
∵DC+CE=10，
∴3a+2a=10，
∴a=2，
∴BE=2；

（2）∵由（1）知a=2，
∴AB=6，CE=4，
∵AE=

4+36

=2

10

，
∴EG=

1

2

AE=

1

2

×2

10

=

10

，
又∵

NG

GE

=

1

3

，
∴NG=

10

3

，
∴AN=

( 10 )2+( 10 3 )2

=

10

3

，
∴AN=NE=

10

3

，
∴S_△ANE=

1

2

×

10

3

×2=

10

3

；

（3）∵Rt△ENB中，EB=2，NE=

10

3

，
∴sin∠ENB=

EB

NE

=

2

10 3

=

3

5

．

点评：本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．