Question

如图，已知A（-3，0），B（0，-4）．点P为双曲线y=

k

x

(x＞0，k＞0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PO⊥y轴于点D．
（1）当四边形ABCD为菱形时，求双曲线的解析式；
（2）若点p为直线y=

3

4

x与（1）所求的双曲线的交点，试判定此时四边形ABCD的形状，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）当四边形ABCD为菱形时，由菱形的轴对称性可求C、D两点坐标，又PC⊥x轴，PD⊥y轴，则P、C两点横坐标相等，P、D两点纵坐标相等，可求P点坐标，确定双曲线解析式；
（2）联立直线与双曲线解析式，求P点坐标，可判断△OAD，△OBC为等腰直角三角形，从而确定四边形ABCD的形状．

解答：（1）解法一：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=OC，OB=OD（1分）
可得点p的坐标为P（3，4）（3分）
∴k=12，即双曲线的解析式为y=

12

x

(x＞0，k＞0)（5分）
解法二：
由勾股定理可求得菱形的边长为5，所以求得点C、点D的坐标C（3，0）、D（0，4），
所以点P坐标为P（3，4），下同解（一）；

（2）依题意：联立

y= 3 4 x y= 12 x

，
解得

x=4 y=3

（x＞0），
即P（4，3）（7分）
此时，OA=OD=3、OB=OC=4，△OAD，△OBC为等腰直角三角形，
∴AD∥BC，（9分）
又据勾股定理求得AB=CD=5．
所以四边形ABCD为等腰梯形（10分）

点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过坐标系里图形的轴对称性，特殊三角形的性质，求点的坐标，确定双曲线的解析式．