Question

【题目】(1) 知识储备

①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA.

②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC

的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．

(2)知识迁移

①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法：

如图 2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC 的费马距离.

②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点 P(要求尺规作图).

(3)知识应用

①判断题（正确的打√，错误的打×）：

ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（__________）；

ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（__________）.

②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为，求正方形 ABCD 的

边长．

Answer 1

【答案】 AD √ ×

【解析】分析：（1）根据已知首先能得到△PCE为等边三角形，进而得出△ACE≌△BPC，即可得证；

（2）①仔细阅读新知的概念，结合图形特点，直接有结论判断即可；

②根据尺规作图，作等边三角形即可求得费马点；

（3）①ⅰ.根据作图可知费马点有且只有一个，ⅱ.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部；

②将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1，过A1作A1H⊥BC，交CB的延长线于H，连接P1P，根据等边三角形的判定与性质，得到△P1PB是正三角形，进而得出∠A1BH=30°，然后由正方形的性质和30°角直角三角形的性质，根据勾股定理求出正方形的边长.

详解：（1）①证明：在PA上取一点E，使PE=PC，连接CE，

∵正三角形ABC

∴∠APC=∠ABC=60°

又∵PE=PC，∴△PEC是正三角形

∴CE=CP ∠ACB=∠ECP=60°

∴∠1=∠2

又∵∠3=∠4 BC=AC

∴△ACE≌△BCP (ASA)

∴AE=BP

即：BP+CP=AP.

（2）①线段 AD 的长度即为△ABC的费马距离．

②过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE，

交点即为P0．

（3）①ⅰ.（ √ ） ②ⅱ.（ × ）

②解：将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1，

过A1作A1H⊥BC，交CB的延长线于H，连接P1P，

易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1 A1，∠P1BP=∠A1BA=60°

∵PB=P1B ∠P1BP=60°

∴△P1PB是正三角形

∴PP1=PB

∵PA+PB+PC的最小值为

∴P1A1+PP1+PC的最小值为

∴A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C=

设正方形的边长为2x

∵∠A1BA=60° ∠CBA=90°

∴∠1=30°

在Rt△A1HB中，A1B=AB=2x，∠1=30°

得：A1H=x，BH=

在Rt△A1HC中，由勾股定理得：

解得：x1=1 x2=1（舍去）

∴正方形ABCD的边长为2．