Question

11．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且tan∠MOC=1，求M点的坐标及四边形OBMC面积．

Answer 1

分析 （1）先根据坐标轴上点的坐标特征确定B（2，0），C（0，-2），然后利用待定系数法确定二次函数解析式；
（2）把（1）的解析式y=x²-x-2配成顶点式得y=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标；
（3）由于△OBC为等腰直角三角形，而OM⊥BC，则OM的解析式为y=-x，可设M（x，-x），把它代入二次函数解析式得x²-x-2=-x，解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$．则M点坐标为（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），然后计算出OM=2，BC=2$\sqrt{2}$，再利用三角形面积公式计算四边形OBMC的面积．

解答 解：（1）直线y=x-2与坐标轴的交点坐标分别为B（2，0），C（0，-2），以A、B、C三点的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+c中，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4+2b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$
∴所求抛物线的解析式是y=x²-x-2；
（2）∵y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（3）∵因为点M在第四象限内的抛物线上，且tan∠MOC=1，
∴设M（x，-x），
因为点M在抛物线上，∴x²-x-2=-x．
解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，
因点M在第四象限，取x=$\sqrt{2}$，∴M（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∵∠COM=45°，
∴∠ODC=90°，
即OM⊥BC，
得OM=2，BC=2$\sqrt{2}$，四边形OBMC的面积为$\frac{1}{2}$OM•BC=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．