Question

2．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）是矩形OACB的两个顶点．定义：如果双曲线y=$\frac{k}{x}$经过AC的中点D，那么双曲线y=$\frac{k}{x}$为矩形OACB的中点双曲线．
（1）若a=3，b=2，请判断y=$\frac{3}{x}$是否为矩形OACB的中点曲线？并说明理由．
（2）若y=$\frac{k}{x}$是矩形OACB的中点双曲线，点E是矩形OACB与中点双曲线y=$\frac{k}{x}$的另一个交点，连结OD、OE，四边形ODCE的面积S=4，试求出k的值．

Answer 1

分析 （1）求出点D（3，1）代入y=$\frac{3}{x}$中判断即可；
（2）设出点D（m，n），表示出点C的坐标，表示出矩形OACB的面积，再用三角形的面积和求出矩形OACB的面积，建立方程求解即可．

解答 解：（1）是，
理由：
a=3，b=2，
∴A（3，0），B（0，2），
∴C（3，2），
∴AC的中点坐标为（3，1），
当x=3时，y=$\frac{3}{x}$=$\frac{3}{3}$=1，
∴AC的中点在双曲线y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴y=$\frac{3}{x}$是为矩形OACB的中点曲线．
（2）如图，

∵点D，E在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴S_△OBE=$\frac{1}{2}$k，S_△OAD=$\frac{1}{2}$k，
∵四边形ODCE的面积S=4，
∴矩形OACB的面积=k+4，
∵y=$\frac{k}{x}$是矩形OACB的中点双曲线，
设点D（m，n），
∴mn=k，C（m，2n），
∴矩形OACB的面积为2mn=2k，
∴2k=k+4，
∴k=4，

点评 此题是反比例函数系数k的几何意义，主要考查了新定义，几何图形的面积，解本题的关键是用两种方法表示出矩形OACB的面积，求出k．