Question

17．如图，直角梯形ABCD的直角腰BC在x轴上，点A（1，2），点D（2，1），过A，D两点的直线分别交x轴，y轴于点E，F，抛物线y=ax²+bx+c经过O，A，D三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段OD上一个动点（P不与O，D重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的P点，使得BP=AM？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AD方向平移（即点A始终在线段AD上，且AB始终与Y轴平行），△AOB在平移过程中与直角梯形ABCD重叠部分面积记为S，试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A、D、O的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后解得a、b、c的值即可；
（2）先求得直线OD的解析式，设点P的坐标为（a，$\frac{1}{2}a$）则点M的坐标为（a，$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{7}{2}$a），AM=BP可知点M与点P关于y=1对称，从而得到$\frac{1}{2}a$$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{7}{2}$a=2，然后解得a的值，从而得到点P的坐标；
（3）先求得直线OA和AD的解析式，设点A′的横坐标为h，由AD得解析式可知点A′的纵坐标为3-h，BH=h-1，平行直线的特点可求得直线A′O′的解析式为y=2x+3-3h．从而可求得BG=5-3H，接下来依据梯形的面积公式可求得S与h的函数关系式，最后利用配方法可求得S的最大值．

解答 解：（1）∵A、D、O的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a+b+c=2}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，解得：a=-$\frac{3}{2}$，b=$\frac{7}{2}$c=0，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{7}{2}x$．
（2）如图1所示．

设直线OD的解析式为y=kx．
∵点D的坐标代入得：2k=1，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴OD的解析式为y=$\frac{1}{2}x$．
设点P的坐标为（a，$\frac{1}{2}a$）则点M的坐标为（a，$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{7}{2}$a）
∵AM=PB，PM∥AB，
∴点M与点P关于y=1对称．
∴$\frac{1}{2}a$$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{7}{2}$a=2．
整理得：3a²-8a+4=0，
解得：a₁=2，a₂=$\frac{2}{3}$
∴点P的坐标为（2，1）或（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（3）如图2所示：

设OA的解析式为y=kx．
∵将点A坐标代入得：k=2，
∴直线OA的解析式为y=2x．
设直线AD的解析式为y=kx+b．
∵将点（2，1）、（1，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3．
∴直线AD的解析式为y=-x+3．
设点A′的坐标为（h，-h+3）．则BH=h-1，A′H=-h+3．
∵OA∥O′A′，
∴直线O′A′的一次项系数为2．
设O′A′的解析式为y=2x+b₁．
∵将点A′的坐标代入得：2h+b₁=-h+3，解得：b₁=3-3h，
∴直线O′A′的解析式为y=2x+3-3h．
∵将x=1代入得：y=5-3h，
∴BG=5-3H．
∴S=$\frac{1}{2}$（BG+A′H）BH=$\frac{1}{2}$×（5-3h+3-h）（h-1）=-2h²+6h+2=-2（h-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{2}$．
∴当h=$\frac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为S=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、等腰梯形的性质、梯形的面积公式、配方法求二次函数的最值，列出S于点A′的横坐标h之间的函数关系式是解题的关键．