Question

19．已知某提炼厂10月份共计从矿区以每吨4000元价格购买了 72吨某矿石原料，该提炼厂提炼矿石材料的相关信息如下表所示：

提炼方式	每天可提炼原材料的吨数	提炼率	提炼后所得产品的售价（元/吨）	每提炼1吨原材料消耗的成本（元）
粗提炼	7	90%	30000	1000
精提炼	3	60%	90000	3000

注：①提炼率指提炼后所得的产品质量与原材料的比值；
②提炼后的废品不产生效益；
③提炼厂每天只能做粗提炼或精提炼中的一种．
受市场影响，提炼厂能够用于提炼矿石原材料的时间最多只有12天，若将矿石原材料直接在市场上销售，每吨的售价为5000元，现有3种提炼方案：
方案①：全部粗提炼；
方案②：尽可能多的精提炼，剩余原料在市场上直接销售（直接销售的时间忽略不计）；
方案③：一部分粗提炼，一部分精提炼，且刚好12天将所有原材料提炼完．
问题：
（1）若按照方案③进行提炼，需要粗提炼多少天？
（2）哪个提炼方案获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）已知提炼厂会根据每月的利润按照一定的提成比例来计算每个月需要给工厂员工发放的总提成，具体计算方法如下表：

提炼厂利润	不超过150万元的部分	超过150万元但不超过200万元的部分	超过200万元的部分
提成比例	8%	a%	15%

现知按照（2）问中的最大利润给员工发放的 10月份的总提成为15.09万元，11月份和12月份提炼厂获得的总利润为 480万元，11月份和12月份给员工的总提成为50.6万元，且12月份的利润比11月份的利润大，求提炼厂12月份的利润．

Answer 1

分析 （1）设粗提炼x天，则精提炼12-x天，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）根据题中给出的三个方案，讨论每个方案所获得的利润，即可得出结论；
（3）依据（2）中的最大利润可以算出a=10，由12月份利润比11月份利润大，设出12月份利润为M万元，根据提成比例不同，分三种情况讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）设需要粗提炼x天，则精提炼12-x天，根据题意，得
7x+3×（12-x）=72，
整理，得4x=36，
解得x=9．
答：若按照方案③进行提炼，需要粗提炼9天．
（2）所获利润按方案来分．
方案①：利润为72×90%×30000-72×（4000+1000），
=72×0.9×30000-72×5000，
=1944000-360000，
=1584000（元）=158.4（万元）．
方案②：12天精提炼12×3=36吨，剩余72-36=36吨．
利润为36×60%×90000-36×（4000+3000）+36×（5000-4000），
=36×0.6×90000-36×7000+36×1000，
=1944000-252000+36000，
=1728000（元）=172.8（万元）．
方案③：粗提炼7×9=63吨，精提炼3×（12-9）=9吨．
利润为63×90%×30000-63×（4000+1000）+9×60%×90000-9×（4000+3000），
=63×0.9×30000-63×5000+9×0.6×90000-9×7000，
=1701000-315000+486000-63000，
=1809000（元）=180.9（万元）．
综合①②③种方案可知，方案③利润最大，最大利润为180.9万元．
（3）第（2）小问中的最大利润为1809000元，15.09万元=150900元，150万元=1500000元．
10月份的提成为1500000×8%+（1809000-1500000）a%=150900，
整理得3090a=30900，即a=10．
设12月份的利润为M万元，则11月份的利润为（480-M）万元．
①当480-M≤150时，11月份和12月份给员工的总提成：
150×8%+（200-150）×10%+（M-200）×15%+（480-M）×8%=50.6，
解得M=360，此时480-M=120万元．
②当150＜480-M≤200时，11月份和12月份给员工的总提成：
150×8%+（200-150）×10%+（M-200）×15%+150×8%+（480-M-150）×10%=50.6，
解得M=372，此时480-M=108万元（舍去）．
③当480-M＞200时，11月份和12月份给员工的总提成：
2×150×8%+2×（200-150）×10%+15%×（480-400），
=24+10+12，
=46≠50.6，即480-M＞200不成立．
综合①②③可得提炼厂12月份的利润为360万元．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）设粗提炼x天，则精提炼12-x天，根据题意列出方程；（2）按照三种方案试探讨每种方案的利润；（3）由（2）中的最大利润算出a=10，设出12月利润为M万元，按480-M分三种情况进行讨论．