Question

如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．

Answer 1

（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，∠A=∠C，CD∥AB，即得∠CDB=∠DBA，根据角平分线的性质可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠CDB，即可证得结论；
（2）先根据等腰三角形三线合一的性质证得BE⊥AD，由△ABE≌△CDF可得AE=CF，再结合平行四边形的性质可得DE=BF，从而证得结论.

试题分析：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C
∵CD∥AB
∴∠CDB=∠DBA
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD
同理∠CDF=∠BDF=∠CDB
∴∠ABE=∠CDF
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵AB=DB，BE平分∠ABD
∴BE⊥AD
∴∠BED=90°
∵△ABE≌△CDF
∴AE="CF"
在□ABCD中，AD=BC，
∴AD-AE=BC-CF
∴DE=BF，AD∥BC
∴四边形DFBE是矩形．
点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.