Question

4．如图，A（5，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由A，B的坐标及∠CBO=45°可得出点C的坐标为（0，3）；
（2）分为两种情况：①当P在点B的左侧时，②当P在点B的右侧时，分别求出t的值，
（3）本小题分三种情况讨论：①当PC⊥BC时，⊙P与BC相切；②当PC⊥CD时，⊙P与CD相切；③当PA⊥AD时，⊙P与AD相切；分别求出各种情况的t的值．

解答 解：（1）∵A（5，0），B（3，0），
∴OA=5，OB=3，
∵∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
∴点C的坐标（0，3）；

（2）①当P在点B的左侧时，
∵∠CBO=45°，∠BCP=15°
∴∠OCP=∠OCB-∠BCP=45°-15°=30°，
∵CO=3，
∴OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CO=$\sqrt{3}$，
∵Q（-4，0），
∴QP=$\sqrt{3}$+4，
∵点P沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=$\frac{\sqrt{3}+4}{2}$，
②当P在点B的右侧时，
∵∠OCB=45°，∠BCP=15°
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+15°=60°，
∵CO=3，
∴OP=$\sqrt{3}$CO=3$\sqrt{3}$，
∵Q（-4，0），
∴QP=3$\sqrt{3}$+4，
∵点P沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$，
综上所述当∠BCP=15°时，t的值为$\frac{\sqrt{3}+4}{2}$或$\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$；

（3）①如图1，当PC⊥BC时，⊙P与BC相切，

∵∠CBO=45°，
∴∠CPB=45°，CP=BC，
∵CO=3，
∴PO=3，
∴QP=QO-PO=4-3=1，
∵点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=0.5（秒），
②如图2，当PC⊥CD时，⊙P与CD相切，

∵QO=4，点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=4÷2=2（秒）
③如图3，当PA⊥AD时，⊙P与AD相切，设PA=r

∵OA=5，OC=3，
∴OP²+OC²=PC²，即（5-r）²+3²=r²，解得：r=$\frac{17}{5}$，
∴QP=4+5-$\frac{17}{5}$=$\frac{28}{5}$，
∵点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=$\frac{14}{5}$，
综上所述t₁=0.5秒，t₂=2秒，t₃=$\frac{14}{5}$秒．

点评 本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是分类讨论当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切的三种情况．