Question

如图，过圆周上一点P作直径AB的垂线PM，M为垂足，过P及A作圆的切线交于Q，BQ交PM于N，求证：PN=MN．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点B作⊙O的切线交QP的延长线于K，如图，由于AQ，QK，BK是⊙O的切线，根据切线长定理和切线的性质得QP=QA，KP=KB，QA⊥AB，BK⊥AB，而PM⊥AB，根据平行线的判定得QA∥PM∥BK，于是利用平行线分线段乘比例定理得到

BM

AB

=

PK

QK

，再证明△QPN∽△QKB得到

PN

BK

=

QP

QK

，利用比例性质和等线段代换得

PN

QP

=

PK

QK

，然后证明△BMN∽△BAQ得到

MN

QA

=

BM

AB

，所以

PN

QP

=

MN

QA

，则有PN=MN．

解答：证明：过点B作⊙O的切线交QP的延长线于K，如图，
∵AQ，QK，BK是⊙O的切线，
∴QP=QA，KP=KB，QA⊥AB，BK⊥AB，
∵PM⊥AB，
∴QA∥PM∥BK，
∴

BM

AB

=

PK

QK

∵PN∥BK，
∴△QPN∽△QKB，
∴

PN

BK

=

QP

QK

，
∴

PN

QP

=

BK

QK

=

PK

QK

，
∵MN∥AQ，
∴△BMN∽△BAQ，
∴

MN

QA

=

BM

AB

，
∴

PN

QP

=

MN

QA

，
∴PN=MN．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质．