Question

8．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；
（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3-x-y，DF=$\frac{3-x-y}{2}$，进而根据DF∥AC，求得y=$\frac{9-3x}{2x+3}$，定义域为：0＜x＜3；
（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；
（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出$\frac{BD}{QE}$=$\frac{DQ}{EC}$，即2DQ²=x²，再根据DE∥BC，得出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{3x}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{3}$，求得x的值即可．

解答 解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则
根据QE=2DQ，可得
$\frac{DF}{PE}$=$\frac{DQ}{QE}$=$\frac{1}{2}$，
又∵DE∥BC，
∴$\frac{EC}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=1，
∴EC=BD=x，PE=3-x-y，DF=$\frac{3-x-y}{2}$，
∵DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AP}$=$\frac{BD}{AB}$，即$\frac{3-x-y}{2y}$=$\frac{x}{3}$，
∴y=$\frac{9-3x}{2x+3}$，定义域为：0＜x＜3；

（2）∵DE∥BC，
∴△PEQ∽△PBC，
∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，
①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，
∴BC²=CP•AC，即4=3（3-y），
解得y=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{9-3x}{2x+3}$=$\frac{5}{3}$，
解得x=$\frac{12}{19}$=BD；
②当PC=BC=2时，AP=y=1，
∴$\frac{9-3x}{2x+3}$=1，
解得x=$\frac{6}{5}$=BD；
③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；

（3）∵DE∥BC，
∴∠BDQ+∠CBD=180°，
又∵∠CQB和∠CBD互补，
∴∠CQB+∠CBD=180°，
∴∠CQB=∠BDQ，
∵BD=CE，
∴四边形BCED是等腰梯形，
∴∠BDE=∠CED，
∴∠CQB=∠CED，
又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，
∴∠DQB=∠ECQ，
∴△BDQ∽△QEC，
∴$\frac{BD}{QE}$=$\frac{DQ}{EC}$，即2DQ²=x²，
∴DQ=$\frac{x}{\sqrt{2}}$，DE=$\frac{3x}{\sqrt{2}}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{3x}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{3}$，
解得x=$\frac{54\sqrt{2}-24}{73}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．