Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，点是坐标平面内的任意一点．若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点的坐标为__________．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

因为点是坐标平面内的任意一点．若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时，始终有△ODP是腰长为5的等腰三角形，而△ODP是腰长为5的等腰三角形有三种情况，要分类讨论求解即可．

解：由题意，若以、、、为顶点的四边形是边长为5的菱形时，始终有△ODP是腰长为5的等腰三角形，而当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：

（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，

∴OE=OD-DE=5-3=2，

∴此时点P坐标为（2，4）；

（2）如答图②所示，OP=OD=5．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△POE中，由勾股定理得：OE=，

∴此时点P坐标为（3，4）；

（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=

∴OE=OD+DE=5+3=8，

∴此时点P坐标为（8，4）．

综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；

故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；