Question

17．已知$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$，$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{5}$，求代数式$\frac{abc}{ab+bc+ca}$的值．

Answer 1

分析 根据$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$，$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{5}$即可求得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=3，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=4，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$=5，然后三个式子相加即可求得$\frac{ab+bc+ca}{abc}$，进而求得所求的值．

解答 解：∵$\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{4}$，$\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{5}$，
∴$\frac{a+b}{ab}$=3，$\frac{b+c}{bc}$=4，$\frac{a+c}{ac}$=5，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=3，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=4，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$=5，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=6，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{ab+bc+ca}{abc}$=6．
∴原式=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了分式的化简求值，正确理解$\frac{ab+bc+ca}{abc}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$是解决本题的关键．