【题目】问题提出
(1)如图1,已知三角形,请在边上确定一点,使得的值最小.
问题探究
(2)如图2,在等腰中,,点是边上一动点,分别过点,点作线段所在直线的垂线,垂足为点,若,求线段的取值范围,并求的最大值.
问题解决
(3)如图3,正方形是一块蔬菜种植基地,边长为3千米,四个顶点处都建有一个蔬菜采购点,根据运输需要,经过顶点处和边的两个三等分点之间的某点建设一条向外运输的快速通道,其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道,分别为、、.若你是此次项目设计的负责人,要使三条运输轨道的距离之和最小,你能不能按照要求进行规划,请通过计算说明.
【答案】(1)答案见解析;(2)的取值范围是,当取最小值时,取得最大值,最大值是5;(3)可以按照要求进行规划(点P选在点E处),三条输送轨道之和最小为千米.
【解析】
(1)根据垂线段最短即可得;
(2)如图2(见解析),先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出,再根据等面积法可求出,由此即可得线段的取值范围;然后根据可得当取最小值时,取得最大值,将BP的最小值代入求解即可得;
(3)如图3(见解析),连接,先参照(2)的方法求出AP的取值范围,再根据得出,由此即可得出答案.
(1)如图1,过点作,垂足为点
由垂线段最短可知,此时的值最小;
(2)如图2,过点作,垂足为点,过点作,垂足为点
是等腰三角形
由等面积法得:,即
解得
点在边上,
,即
则的取值范围是
当取最小值时,取得最大值
将代入得:
解得
则的最大值是5;
(3)如图3,连接
正方形边长为3,为边的三等分点
参考(2)可知,
即
,即
又
即
当取最大值时,取得最小值
将代入得:
解得
则的最小值为
综上,可以按照要求进行规划(点P选在点E处),三条输送轨道之和最小为千米.
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【题目】七巧板是我国祖先的一项卓越创造,如图正方形ABCD可以制作一副七巧板,现将这副七巧板拼成如图2的“风车”造型(内部有一块空心),连结最外围的风车顶点M、N、P、Q得到一个四边形MNPQ,则正方形ABCD与四边形MNPQ的面积之比为( )
A.5:8B.3:5C.8:13D.25:49
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【题目】已知函数,小李同学对该函数的图象与性质进行了探究,下面是小李同学探究的过程,补充完整:
(1)直接写出自变量x的取值范围:__________;
(2)下表是y与x的几组对应值:
x | … | -4 | -1 | 0 | 1 | 3 | 4 | 5 | n | … | ||||
y | … | m | 0 | -1 | -4 | 8 | 5 | 4 | 3 | … |
则m= ,n= ;
(3)如图所示,在平面直角坐标系xoy中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,并根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)观察函数图象可知:该函数图象的对称中心的坐标是______;
(5)当时,关于x的方程有实数解,直接写出k的取值范围_______.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为r(r>0).给出如下定义:若平面上一点P到圆心O的距离d,满足,则称点P为⊙O的“随心点”.
(1)当⊙O的半径r=2时,A(3,0),B(0,4),C(﹣,2),D(,﹣)中,⊙O的“随心点”是_____;
(2)若点E(4,3)是⊙O的“随心点”,求⊙O的半径r的取值范围;
(3)当⊙O的半径r=2时,直线y=x+b(b≠0)与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在⊙O的“随心点”,直接写出b的取值范围.
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【题目】如图,在直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=. 求:(1)点B的坐标;(2)cos∠BAO的值.
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【题目】已知,如图等腰直角沿MN所在的直线以的速度向右作匀速直线运动,若,则和正方形重叠部分的面积与匀速运动所有的时间之间函数的大致图像是( )
A.B.C.D.
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【题目】修建隧道可以方便出行.如图:,两地被大山阻隔,由地到地需要爬坡到山顶地,再下坡到地.若打通穿山隧道,建成直达,两地的公路,可以缩短从地到地的路程.已知:从到坡面的坡度,从到坡面的坡角,公里.
(1)求隧道打通后从到的总路程是多少公里?(结果保留根号)
(2)求隧道打通后与打通前相比,从地到地的路程约缩短多少公里?(结果精确到0.01)(,)
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