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如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1,∠BAE=30°.

(1)求证:△ABE≌△BCF;

(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积;

(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB'E'(如图2),使点E落在CD边上的点E'处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由.

(1)证明见解析;

(2)

(3)没有变化,理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)要证△ABE≌△BCF,已知条件是AB=BC ,∠ABE=∠BCF=90°,只需要再有一条边或一个角对应相等即可,而通过已知条件可以得到∠BAE=∠CBF,利用ASA即可证全等了;

(2)由(1)△ABE≌△BCF,可得∠FBC=∠BAE=30°,又BE=1,∠BGE=90°,从而可得GE=,利用勾股定理可得GB的长,从而可得△BEG)的面积;

(3)由已知条件可得Rt△ABE≌Rt△AB'E'≌Rt△AD E', △BAG≌△HAG,从而可得S四边形B’E’HG=S△AB’E’-S三角形AGH=S△ABE-S△ABG=S△BEG,即重叠部分的面积没有变化.

试题解析:⑴∵正方形ABCD中,∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,

∴∠ABF+∠CBF=900,∵AE⊥BF, ∴∠ABF+∠BAE=900,

∴∠BAE=∠CBF, ∴△ABE≌△BCF.

⑵∵△ABE≌△BCF,∴∠FBC=∠BAE=30°,∵BE=1,∠BGE=90°,∴GE=,∴GB==

∴S△BGE=××=.

(3)没有变化,易证Rt△ABE≌Rt△AB'E'≌Rt△AD E', △BAG≌△HAG,

∴S四边形B’E’HG=S△AB’E’-S三角形AGH=S△ABE-S△ABG=S△BEG

∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化.

考点:1、正方形的性质;2、三角形全等的判定与性质;3、旋转的性质;4、勾股定理.

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