Question

如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．
（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．

解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，
∴∠EAD=∠DAF．
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴∠DEA=∠DFA=90°
又AD=AD，
∴△DEA≌△DFA．
∴EA=FA
∵ED=FD，
∴AD是EF的垂直平分线．
即AD⊥EF．

（2）解：∵DE∥AC，
∴∠DEA=∠FAE=90°．
又∠DFA=90°，
∴四边形EAFD是矩形．
由（1）得EA=FA，
∴四边形EAFD是正方形．
∵DE=1，
∴AD=

2

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点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．