Question

2．如下图，正方形ABCD，G是CD边上的一个动点（G不与C、D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE、BG，并延长BG交DE于点H．
（l）点G运动到何处时，四边形DGEF是平行四边形，并加以证明；
（2）判断BG、DE的位置关系和大小关系；
（3）当BH=13，DH=5时，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意可得DG∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知当DG=EF，即DG=CG时，四边形DGEF是平行四边形；
（2）由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得△BCG≌△DCE，进而得出答案；然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DHG=90°，则可得BH⊥DE；
（3）连接BD，过点H作HN⊥AB，垂足为N，交DC于点M．先根据AB²+AD²=DH²+BH²求得正方形的边长，设HG=x，由△BCG∽△DHG，可求得HG=$\frac{20}{9}$，接下来由∠MHG=∠GBC可求得MG和MH的长，从而可得到AN和HN的长度，最后利用勾股定理即可求得AH的长．

解答 解；（1）当G是CD的中点，即CG=$\frac{1}{2}$CD时，四边形DGEF是平行四边形．
理由：∵G是CD的中点，
∴CG=GD．
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴DG∥EF，CG=EF．
∴DG=EF．
∴四边形DGEF是平行四边形．
∴当G是CD的中点，即CG=$\frac{1}{2}$CD时，四边形DGEF是平行四边形；
（2）BG=DE，BG⊥DE．
理由：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE．
（3）如图所示：连接BD，过点H作HN⊥AB，垂足为N，交DC于点M．

∵在Rt△BDH中，BD²=DH²+BH²=169+25=194，
∴BD=$\sqrt{194}$．
∵在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴AB=BD$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{97}$．
∵∠BGC=∠HGD，∠BCG=∠BHD，
∴△BCG∽△DHG．
∴$\frac{MH}{GC}=\frac{DH}{BC}$．
设GH=x，则$\frac{x}{CG}=\frac{5}{\sqrt{97}}$，整理得：CG=$\frac{\sqrt{97}x}{5}$．则DG=$\sqrt{97}-\frac{\sqrt{97}x}{5}$．
∵△BCG∽△DHG，
∴$\frac{MD}{BG}=\frac{GC}{DH}$，即$\frac{\sqrt{97}-\frac{\sqrt{97}x}{5}}{13-x}=\frac{5}{\sqrt{97}}$．
解得：x=$\frac{20}{9}$．
∴GC=$\frac{\sqrt{97}}{5}×\frac{20}{9}$=$\frac{4\sqrt{97}}{9}$．
∵∠MHG=∠GBC，
∴HM=GH•$\frac{9}{\sqrt{97}}$=$\frac{20}{9}×\frac{9}{\sqrt{97}}$=$\frac{20\sqrt{97}}{97}$，MG=$GH•\frac{4}{\sqrt{97}}$=$\frac{20}{9}×\frac{4}{\sqrt{97}}$=$\frac{80}{9\sqrt{97}}$．
∴MC=GC+MG=$\frac{4\sqrt{97}}{9}$+$\frac{80\sqrt{97}}{873}$=$\frac{52\sqrt{97}}{97}$，NH=$\sqrt{97}+\frac{20\sqrt{97}}{97}$=$\frac{117\sqrt{97}}{97}$．
∴AN=AB-BN=$\sqrt{97}-\frac{52\sqrt{97}}{97}$=$\frac{45\sqrt{97}}{97}$．
在Rt△ANH中，AH=$\sqrt{A{N}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{45\sqrt{97}}{97}）^{2}+（\frac{117\sqrt{97}}{97}）^{2}}$=$\sqrt{162}$=9$\sqrt{2}$．
∴AH的长为9$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定、勾股定理、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质求得HG的长度，从而得到AN和HN的长度是解题的关键．