练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    8．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
    （1）求AD的长及抛物线的解析式；
    （2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
    （3）在抛物线的对称轴上有一点M，使MD+ME的值最小，试求出点M的坐标，并求MD+ME的最小值．

    分析 （1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
    （2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值；
    （3）直接利用对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．

    解答 解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
    ∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
    由题意，△BDC≌△EDC．
    ∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
    由勾股定理易得EO=6．
    ∴AE=10-6=4，
    设AD=x，则BD=ED=8-x，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
    解得，x=3，∴AD=3．
    ∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=10}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$
    ∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x2+$\frac{16}{3}$x．

    （2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
    ∴∠DEA=∠OCE，
    由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
    而CQ=t，EP=2t，∴PC=10-2t．
    当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
    ∴$\frac{CQ}{AE}$=$\frac{CP}{DE}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，
    解得：t=$\frac{40}{13}$．
    当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
    ∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{QC}{DE}$，即$\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
    解得：t=$\frac{25}{7}$．
    ∴当t=$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{7}$时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

    （3）如图所示：作点D（3，10）关于对称轴x=4的对称点D1（5，10），连接D1E交对称轴x=4于点M，此时MD+ME的值最小，
    设直线D1E的解析式为：y=kx+b（k≠0），
    将E（0，6），D1（5，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{5k+b=10}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{5}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
    故直线D1E的解析式为：y=$\frac{4}{5}$x+6（0≤x≤5），
    令x=4，解得：y=$\frac{46}{6}$，
    ∴M（4，$\frac{46}{5}$），
    此时，MD+ME=ME+MD1=D1E=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{41}$．

    点评 此题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．第2问需要进行分类讨论，以免漏解．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    18．如果9m+3×27m+1÷32m-1=81，求m的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．关于x的一元二次方程$\frac{1}{4}$x2+（m-1）x-2m+1=0．
    （1）求证：当m≠0时，原方程总有两个不相等的实数根；
    （2）若原方程的两根之和为8，求m的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    16．计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
    A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．如图是某校体育场内一看台的截面图，看台CD与水平线的夹角为30°，最低处C与地面的距离BC为2.5米，在C，D正前方有垂直于地面的旗杆EF，在C，D两处测得旗杆顶端F的仰角分别为60°和30°，CD长为10米，升旗仪式中，当国歌开始播放时，国旗也在离地面1.5米的P处同时冉冉升起，国歌播放结束时，国旗刚好上升到旗杆顶端F，已知国歌播放时间为46秒，求国旗上升的平均速度．（结果精确到0.01米/秒）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图，已知二次函数的图象M经过A（-1，0），B（4，0），C（2，-6）三点．
    （1）求该二次函数的解析式；
    （2）点D（m，n）（-1＜m＜2）在图象M上，当△ACD的面积为$\frac{27}{8}$时，求点D的坐标；
    （3）在（2）的条件下，设图象M的对称轴为l，点D关于l的对称点为E．能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    20．化简：$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}-2a+1}$÷$\frac{1}{a-1}$=a+1．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．据自贡市移动公司统计，该公司2014年底手机用户的数量为100万部，2016年底手机用户的数量将达144万部，求2014年底至2016年底手机用户数量的年平均增长率？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    18．某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的$\frac{1}{2}$，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（　　）
    A．（2-3x）（1-2x）=1B．$\frac{1}{2}$（2-3x）（1-2x）=1C．$\frac{1}{4}$（2-3x）（1-2x）=1D．$\frac{1}{4}$（2-3x）（1-2x）=2

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案