Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形ABQP的面积为S米²．
（1）求面积S与时间t的关系式；
（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为四边形ABQP是不规则的四边形，它的面积S不能直接求出．而△ABC的面积可以求出，△PCQ的面积可以用t表示，所以s可以用这两个三角形的面积之差表示．这样关系式就可以求出了．
（2）假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则能得到关于t的一元二次方程，求解即可．

解答：解：（1）过点P作PE⊥BC于E
Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10（米）
由题意知：AP=2t，CQ=t，则PC=10-2t
由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB
∴

PE

AB

=

PC

AC

即：

PE

6

=

10-2t

10

，
∴PE=

3

5

（10-2t）=-

6

5

t+6
又∵S_△ABC=

1

2

×6×8=24
∴S=S_△ABC-S_△PCQ=24-

1

2

•t•（-

6

5

t+6）=

3

5

t²-3t+24
即：S=

3

5

t²-3t+24（8分）

（2）假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则有：

3

5

t²-3t+24=12
即：t²-5t+20=0
∵b²-4ac=（-5）²-4×1×20＜0
∴方程无实根
∴在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．

点评：此题首先会用勾股定理和平行线分线段成比例的性质求AC和PE，然后用面积的割补法求函数解析式．（2）中要会导出一元二次方程，然后用判别式判断即可．这道题关键在于面积的割补法．