Question

已知，在△ABC中，AB=AC，在图（1）中，点O是△ABC内的任意一点，而在图（2）中，点O是△ABC外的任意一点．在两图中，分别以OB，OC为边画出平行四边形OBDC，连接并延长OA到E，使得AE=OA，再连接DE．观察两图，写出与线段DE有关的两个猜想，并在其中的一个图形中给出证明．（要求：在猜想中不能出现已知中未标的字母．）

Answer 1

分析：在连接OD、AF后，根据平行四边形的性质，F点就是OD的中点，AF就是等腰三角形底边上的高，由OA=AE知，AF连线时三角形OED的中位线，根据中位线性质可得DE⊥BC以及DE的长是△ABC底边BC上高的2倍．

解答：解：猜想1：DE⊥BC；
猜想2：DE的长是△ABC底边BC上高的2倍．

证明：（1）连接OD交BC于点F，连接AF，
∵四边形OBDC为平行四边形，
∴BF=CF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵OA=AE，OF=DF，
∴AF∥DE，
∴DE⊥BC；
证明：在图（2）中，连接OD交BC于点F，连接AF，
∵四边形OBDC为平行四边形，
∴BF=CF，OF=DF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵AE=OA，
∴AF=

1

2

DE，AF∥DE，
∴DE⊥BC，DE=2AF，
即DE⊥BC，DE的长是△ABC底边BC上高的2倍．

点评：此题在考查平行四边形性质的同时，更重要的是考查了三角形中位线的性质和应用，难易适中．