Question

已知二次根式

2x2+2

．
（1）当x=2时，以

2x2+2

的值为斜边构造等腰直角三角形，求直角边的长．
（2）若x是正数，

2x2+2

是整数，求x的最小值．
（3）若

2x2+2

和

x2+x+4

是两个最简二次根式，且是同类二次根式，求x的值．

Answer 1

分析：（1）化简x后，由正弦的概念可求得直角边的长；
（2）由题意知，

2x2+2

应等于2，解方程即可
（3）由同类二次根式的概念，列出方程求解即可．

解答：解：（1）当x=2时，

2x2+2

=

2×22+2

=

10

，
∴直角边长=

10

•sin45°=

10

×

2

2

=

5

；
（2）由于

2x2+2

=

2(x2+1)

若

2x2+2

是整数，当x最小时，x²+1=2
解得：x=±1，
∵x是正数，
∴x=1，即x最小值为1；
（3）由题意得：2x²+2=x²+x+4，
x²-x-2=0，
（x+1）（x-2）=0，
∴x₁=-1，x₂=2，
经检验x₂=2符合题意．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，同类二次根式的概念，解一元二次方程的方法．