Question

19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G．下列结论：
①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S_△ABC=S_△ACF+S_△DCF；④若BD=2DC，则GF=2EG．其中正确的结论是①②③④．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．
②正确．只要证明四边形ABDF是平行四边形即可．
③正确．只要证明△BCE≌△FDC．
④正确．只要证明△BDE∽△FGE，得$\frac{BD}{FG}$=$\frac{DE}{EG}$，由此即可证明．

解答 解：①正确．∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE=DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，
∵EF=AE，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE，∠EAF=60°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，故①正确．
②正确．∵∠ABC=∠FDC，
∴AB∥DF，
∵∠EAF=∠ACB=60°，
∴AB∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=BC，故②正确．
③正确．∵△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，S_△ABE=S_△AFC，
在△BCE和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DF}\\{CE=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FDC，
∴S_△BCE=S_△FDC，
∴S_△ABC=S_△ABE+S_△BCE=S_△ACF+S_△DCF，故③正确．
④正确．∵△BCE≌△FDC，
∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴$\frac{BD}{FG}$=$\frac{DE}{EG}$，
∴$\frac{FG}{EG}$=$\frac{BD}{DE}$，
∵BD=2DC，DC=DE，
∴$\frac{FG}{EG}$=2，
∴FG=2EG．故④正确．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，需要正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．