Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：DE为⊙O的切线．

（2）若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）3

【解析】

（1）连AD，OD，则∠ADB＝∠ADC＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质得：EA＝ED，∠EDA＝∠EAD，由等腰三角形的性质得：∠ODA＝∠OAD，证得∠EDO＝∠EAO，即可得出结论；

（2）由切线的性质得：∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠FAD+∠OBD＝90°，证出∠FDB＝∠FAD，∠F为公共角，得出△FDB∽△FAD，由对应边成比例即可得出结论．

（1）证明：连AD，OD，如图所示：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵E是AC的中点，

∴EA＝ED，

∴∠EDA＝∠EAD，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠EDO＝∠EAO，

∵AB⊥AC，

∴∠EAO＝90°，

∴∠EDO＝90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵DE为⊙O的切线，

∴∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠FAD+∠OBD＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠FDB＝∠FAD，

∵tan∠BDF＝，

∴＝

又∵∠F为公共角，

∴△FDB∽△FAD，

∴＝，

∵BF＝2

∴＝

∴DF＝4，AF＝8

∴AB＝8﹣2＝6

∴⊙O的半径是3．