【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,对角线AC、BD相交于点O,将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<90°)后得直线l,直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)当α=30°时,求线段EF的长度.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据菱形得到AO=CO AD∥BC,根据平行线的性质得到∠OAE=∠OCF,结合对顶角得到三角形全等;
(2)根据菱形得出AB=BC=2,∠ABC=60°得到△ABC为等边三角形,根据题意得出OC=1,根据∠α=30°得出OF⊥BC,根据Rt△OFC得出OF的长度,根据全等得出EF=2OF得出答案.
(1)∵ABCD为菱形
∴AO=CO AD∥BC
∴∠OAE=∠OCF
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
(2)∵AB=BC=2,∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形
∵AC=2,∠ACB=60°
∴OC=1
当∠α=30°
∴OF⊥BC
在Rt△OFC中 ∠COF=30°
∴OF=OC=
又由(1)可得:OE=OF ∴EF=2OF=.
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【题目】如图1,扇形的半径为3,面积为,点是的中点,连接,.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)如图2,,绕点旋转,与,分别交于点(点与点均不重合),与交于两点.
①求的值;
②如图2,连接,,若的度数是定值,则直接写出的度数;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,过点作轴的垂线段,分别交轴于A,B两点,交双曲线于点E,F.
(1)点E的坐标是______________;点F的坐标是_________________________(均用含k的式子表示)
(2)判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;
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【题目】平面直角坐标系中,给出如下定义:对于图形G及图形G外一点P,若图形G上存在一点M,满足PM=2,且使点P绕点M顺时针旋转90°后得到的对应点P’在这个图形G上,则称点P为图形G的“2旋转点”.
已知点A(-1,0),B(-1,2),C(2,-2),D(0,3),E(2,2),F(3,0)
(1)①判断:点B________线段AF的“2旋转点”(填“是”或“不是”);
②点C,D,E中,是线段AF的“2旋转点”的有_________;
(2)已知直线,若直线l上存在线段AF的“2旋转点”,求b的取值范围;
(3)⊙T是以点T(t,0)为圆心,为半径的一个圆,已知在线段AD上存在这个圆的“2旋转点”, 直接写出t的取值范围.
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【题目】已知y是x的二次函数,该函数的图象经过点A(0,5)、B(1,2)、C(3,2).
(1)求该二次函数的表达式,画出它的大致图象并标注顶点及其坐标;
(2)结合图象,回答下列问题:
①当1≤x≤4时,y的取值范围是 ;
②当m≤x≤m+3时,求y的最大值(用含m的代数式表示);
③是否存在实数m、n(m≠n),使得当m≤x≤n时,m≤y≤n?若存在,请求出m、n;若不存在,请说明理由.
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【题目】魔术师说将你想到的数进行以下四步操作,我就可以猜到你心里想的数.
第一步:心中想一个数,求其平方;
第二步:想比这个数小2的数,求其平方;
第三步:求其平方的差值;
第四步:平方的差值除以4再加1.
将结果告诉我,我就能猜中你心里想的数.
(1)若你想的数是5,求出你告诉魔术师的结果是多少.
(2)聪明的同学们,你觉得魔术师的步骤一定能猜中你心中的数吗?请用代数式计算证明你的结论.
解答:魔术师 猜中你心中的数(填“能”或“否”);
证明:设心中想的数为(为任意实数)
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【题目】如图所示,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,作的平分线交圆周于点D,连结AD、BD,AB、CD交于点E.
(1)求证:△ABD为等腰直角三角形;
(2)填空:
①若,则AE的长度为_______;
②在①的条件下,延长AC、DB交于点P,则______.
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【题目】如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1:0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内),在E处处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为__米.(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45)
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