Question

若关于x的方程

2k

x-1

-

x

x2-x

=

kx+1

x

只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．

Answer 1

分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值．

解答：解：原方程化为kx²+（2-3k）x-1=0①．
（1）当k=0时，原方程有一个解，x=

1

2

；
（2）当k≠0时，方程①△=5k²+4（k-1）²＞0，总有两个不同的实数根，
由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，
故x=1，得k=

1

2

．
综上可知当k=0时，原方程有一个解，x=

1

2

；
k=

1

2

时，x=-2．

点评：本题考查了解分式方程．注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．