Question

16．已知：如图，二次函数y=ax²+bx+3的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），且抛物线经过点（2，3），M为抛物线的顶点．
（1）求M的坐标；
（2）求△MCB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出二次函数的解析式，然后求出M的坐标；
（2）过点M作MN⊥OB于点G，交BC于点N，然后根据M和B的坐标求出MN、OG、BG的长度，在根据三角形面积公式即可求出答案．

解答 解：（1）把（-1，0）和（2，3）代入y=ax²+bx+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+3}\\{3=4a+2b+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
∴M的坐标为：（1，4）；
（2）过点M作MN⊥OB于点G，交BC于点N，
令y=0代入y=-x²+2x+3，
∴0=-x²+2x+3，
∴x=-1或x=3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为：y=mx+n，
把C（0，3）和B（3，0）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
令x=1代入y=-x+3，
∴y=2，
∴N（1，2），
∴MN=2，OG=1，BG=2，
∴S_△MCB=S_△MNC+S_△MNB
=$\frac{1}{2}$MN•OG+$\frac{1}{2}$MN•BG
=$\frac{1}{2}$MN（BG+OG）
=$\frac{1}{2}$MN•OB
=$\frac{1}{2}$×2×3
=3

点评 本题考查二次函数综合问题，涉及三角形面积，待定系数法求解析式，一次函数解析式等知识，综合程度较高．