Question

6．在平面直角坐标系中，如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称P为和谐点．
（1）若点A（a，2）是正比例函数y=kx（k≠0，k为常数）上的一个和谐点，求这个正比例函数的解析式；
（2）试判断函数y=-2x+1的图象上是否存在和谐点？若存在，求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）直线l：y=kx+2经过和谐点P，且与反比例函数G：y=-$\frac{4}{3x}$交于M、N两点，若点P的纵坐标为3，求出直线l的解析式，并在x轴上找一点Q使得QM+QN最小．

Answer 1

分析 （1）根据和谐点，列出方程求出a以及点A坐标，即可解决问题．
（2）不存在．设M（a，b）是函数y=-2x+1的图象上和谐点，则有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=ab}\\{b=-2a+1}\end{array}\right.$，消去b得，a-2a+1=a（-2a+1），整理得2a²-2a+1=0，由△=4-8=-4＜0，可知方程无解，由此即可判断．
（3）首先根据和谐点的定义求出点P的坐标，即可求出直线l的解析式，利用方程组求出点M、N的坐标，如图，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴于Q，此时NQ+QM最小．求出直线N′M的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）∵点A（a，2）是正比例函数y=kx（k≠0，k为常数）上的一个和谐点，
∴a+2=2a，
∴a=2，
∴A（2，2），
∴2=2k，
∴k=1，
∴正比例函数的解析式为y=x．

（2）不存在．理由如下，
设M（a，b）是函数y=-2x+1的图象上和谐点，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=ab}\\{b=-2a+1}\end{array}\right.$，消去b得，a-2a+1=a（-2a+1），整理得2a²-2a+1=0，
∵△=4-8=-4＜0，
∴方程无解，
∴函数y=-2x+1的图象上不存在和谐点．

（3）由题意假设P（x，3），则x+3=3x，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，3），代入y=kx+2得3=$\frac{3}{2}$k+2，
∴k=$\frac{2}{3}$，
∴直线l的解析式的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=-\frac{4}{3x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
不妨设M（-1，$\frac{4}{3}$），N（-2，$\frac{2}{3}$），如图，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴于Q，此时NQ+QM最小．

∵N′（-2，-$\frac{2}{3}$），M（-1，$\frac{4}{3}$），
∴直线MN′的解析式为y=2x+$\frac{10}{3}$，
令y=0得到，x=-$\frac{5}{3}$，
∴点Q的坐标为（-$\frac{5}{3}$，0）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、两点之间线段最短、轴对称-最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，掌握利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．