Question

5．如图，抛物线C₁：y=ax²+bx+1的顶点坐标为D（1，0），
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图1，将抛物线C₁向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C₂，直线y=x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C₂于点B，抛物线C₂的顶点为P，求△DBP的面积；
（3）如图2，连结AP，过点B作BC⊥AP于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F，试问：当点Q运动到什么位置时，△BCF的面积为$\frac{8}{3}$？

Answer 1

分析 （1）已知顶点P的坐标，设抛物线的顶点式为：y=a（x-1）²，将点（0，1）代入即可；
（2）根据平移规律求出平移后抛物线的顶点坐标，即P（2，-1），根据顶点式，得平移后抛物线解析式y=（x-2）²-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面积；
（3）过点Q作QN⊥BC于点N，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，△BCF的面积为$\frac{8}{3}$，可得$\frac{1}{2}FC•BC=\frac{8}{3}$，进而可得$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{t}$×4=$\frac{8}{3}$，求出t，可得Q点坐标．

解答 （1）解：∵抛物线顶点为D（1，0），经过点（0，1）
∴可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²，将点（0，1）代入，得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+1；

（2）就；根据题意，平移后顶点坐标P（2，-1）
∴抛物线的解析式为：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），
∴S_△DBP=3；

（3）证明：过点Q作QN⊥BC于点N，
设点Q的坐标是（t，t²-4t+3），则QN=4-t．
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴$\frac{QN}{FC}$=$\frac{BN}{BC}$，
即$\frac{4-t}{FC}$=$\frac{3-（{t}^{2}-4t+3）}{4}$，
得FC=$\frac{4}{t}$，
又∵AC=4，S_△BCF=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{2}FC•BC=\frac{8}{3}$，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{t}$×4=$\frac{8}{3}$，
解得t=3，
∴Q（3，0）．

点评 本题考查了二次函数的解析式的求法，相似三角形的判定与性质的综合能力培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．