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8.如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,点D是AB的中点,点F是边AC上一点,点E是BC边上一点,∠BDE=α,∠CFE=β
(1)请用含α,β的代数式表示∠DEF,并证明你的结论;
(2)若DE恰好垂直AB,如图②,且AF=EF,试用含β的代数式表示∠BEF,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,以点B为坐标原点BC所在直线为x轴建立直角坐标系,如图③所示.若β=60°,点E的坐标为(2,0),求直线AC的函数表达式.

分析 (1)用邻补角求出∠ADE,∠AFE,再用四边形的内角和即可;
(2)先判断出DE∥AC,再利用中垂线的性质得出∠BED=∠AED=∠EAF=$\frac{1}{2}$β,即可;
(3)先求出∠ABC,∠ACB,再判断出△ABE是等边三角形,进而求出EC,EF,从而得出点C,F的坐标,即可求出直线AC解析式.

解答 解:(1)∵∠ADE+∠BDE=180°,
∴∠ADE=180°-α,
同理:∠AFE=180°-β,
根据四边形的内角和为360°,得,∠BAC+∠ADE+∠DEF+∠AFE=360°,
∴90°+180°-α+∠DEF+180°-β=360°,
∴∠DEF=α+β-90°;
(2)如图②,连接AE,

∵DE恰好垂直AB,
∴∠BDE=90°,
∴DE∥AC,
∴∠EAF=∠AED,∠DEF=∠CFE=β,
∵AF=EF,
∴∠EAF=∠AEF,
∴∠AEF=∠AED=$\frac{1}{2}$∠DEF=$\frac{1}{2}$β,
∵点D是AB中点,
∴AD=BD,
∵DE⊥AB,
∴∠BED=∠AED=$\frac{1}{2}$β,
∴∠BEF=∠BED+∠AED+∠AEF=$\frac{3}{2}$β;
(3)如图③,

∵β=60°,
由(2)知,∠BED=∠AED=∠EAF=$\frac{1}{2}$β=30°,
∵AD=BD,DE⊥AB,
∴AE=BE,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB=30°,
∴∠ACB=∠EAC,
∴EC=AE,
∴AE=BE=CE,
∵点E的坐标为(2,0),
∴BE=2,
∴AE=CE=2,
∴BC=BE+CE=4,
∴C(4,0),
在△CEF中,∠ACB=30°,∠EFC=60°,
∴∠FEC=90°,
在Rt△CEF中,CE=2,∠ECF=30°,
∴EF=CEtan∠ECF=2×tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴F(2,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$),
设直线AC解析式为y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$,
∴直线AC解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

点评 此题是一次函数综合题,主要考查待定系数法,四边形的内角和,邻补角,等边三角形的判定和性质,中垂线的性质,解本题的关键是判断出∠CEF=90°.

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