Question

如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，从而得到AD=BC，因为EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线，则可以得到EF=FG=GH=EH，根据四边都相等的四边形是菱形，可推出四边形EFGH是菱形；
（2）成立，可以根据四边都相等的四边形是菱形判定；
（3）先将图形补充完整，再通过角之间的关系得到∠EHG=90°，已证四边形EFGH是菱形，则四边形EFGH是正方形．

解答：解：
（1）四边形EFGH是菱形．（2分）

（2）成立．（3分）
理由：连接AD，BC．（4分）
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．
即∠APD=∠CPB．
又∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=CB．（6分）
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．
∴EF=

1

2

BC，FG=

1

2

AD，GH=

1

2

BC，EH=

1

2

AD．
∴EF=FG=GH=EH．
∴四边形EFGH是菱形．（7分）

（3）补全图形，如答图．（8分）
判断四边形EFGH是正方形．（9分）
理由：连接AD，BC．
∵（2）中已证△APD≌△CPB．
∴∠PAD=∠PCB．
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°．
又∵∠1=∠2．
∴∠PCB+∠2=90°．
∴∠3=90°．（11分）
∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，
∴GH∥BC，EH∥AD．
∴∠EHG=90°．
又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．（12分）

点评：此题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定等知识点的综合运用及推理论证能力．