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如图,已知:在⊙O中,直径AB=4,点E是OA上任意一点,过E作弦CD⊥AB,点F是上一点,连接AF交CE于H,连接AC、CF、BD、OD。
(1)求证:△ACH∽△AFC;
(2)猜想:AH·AF与AE·AB的数量关系,并证明你的猜想;
(3)探究:当点E位于何处时,S△AEC:S△BOD=1:4?并加以说明。
解:(1)∵直径AB⊥CD,

∴∠F=∠ACH,
又∠CAH=∠FAC,
∴△ACH∽△AFC;
(2)AH·AF=AE·AB,
连接FB,
∵AB是直径,
∴∠AFB=∠AEH=90°,
又∠EAH=∠FAB,
∴Rt△AEH∽Rt△AFB,

∴AH·AF=AE·AB;
(3)当(或)时,S△AEC∶S△BOD=1∶4,
∵直径AB⊥CD,
∴CE=ED,


∵⊙O的半径为2,

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4
cm,AD=
6
cm.

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2
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