Question

如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足是D，下列条件中能证明△ABC是直角三角形的有

①②④

（只填序号）．注：少答、多答、错答均不得分．
①∠A+∠B=90°；②AB²=AC²+BC²；③

AC

AB

=

CD

BD

；④CD²=AD•BD．

Answer 1

分析：根据三角形内角和是180°、勾股定理、相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意即可．

解答：解：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，故选项②正确．
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
又∵CD²=AD•BD，（即

CD

AD

=

BD

CD

）
∴△ACD∽△CBD，
∴∠ACD=∠B，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故选项④正确；
故答案为：①②④．

点评：本题考查了直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用，只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可．