Question

18．如图，在直角坐标系中，双曲线$y=\frac{k}{x}（x＞0）$与矩形AOBC的两边交于M（4，2）、N两点，且四边形MONC的面积是8．
（1）说明：矩形AOBC是正方形．
（2）若点P（a、b）是这条曲线MN段（含端点）上的一动点，由点P向x轴、y轴作垂线PE、PD，垂足是E、D，与线段AB分别交于F、G．
①填空：点F的坐标（4-b，b）（用b的代数式表示）；点G的坐标（a，4-a）（用a的代数式表示）；
②说明：△BOG∽△AFO．

Answer 1

分析 （1）先将M（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$，运用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得出S_△AOM=S_△BON=$\frac{1}{2}$|k|=4，则矩形AOBC的面积为16，又OA=4，根据面积公式得出OB=4，则矩形AOBC是正方形；
（2）①先运用待定系数法求出直线AB的解析式，再将点F的纵坐标b代入，求出点F的横坐标；将点G的横坐标a代入，求出点G的纵坐标；
②由于∠OBG=∠FAO=45°，再根据两点间的距离公式分别求出AF、BG的长度，得出OB：AF=BG：OA，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明△BOG∽△AFO．

解答 解：（1）∵点M（4，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$，
∴S_△AOM=S_△BON=$\frac{1}{2}$|k|=4，
∴S_矩形AOBC=S_△AOM+S_△BON+S_{四边形MONC}=4+4+8=16，
又∵OA=4，OA•OB=16，
∴OB=4，
∴OA=OB，
∴矩形AOBC是正方形；

（2）①设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A（4，0），B（0，4）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式为y=-x+4．
∵点P（a，b）是曲线y=$\frac{8}{x}$的MN段（含端点）上的一动点，由点P向x轴、y轴作垂线PE、PD．垂足是E、D，与线段AB分别交于F、G，
∴ab=8，点F的纵坐标为b，点G的横坐标为a．
当y=b时，x=b-4，则点F的坐标为（4-b，b）；
当x=a时，y=-a+4，则点G的坐标为（a，4-a）；
故答案为：（4-b，b），（a，4-a）；


②∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OBG=∠FAO=45°．
∵AF=$\sqrt{{b}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$b，BG=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴AF•BG=$\sqrt{2}$b•$\sqrt{2}$a=2ab=2×8=16=OA•OB，
∴OB：AF=BG：OA．
∵∠OBG=∠FAO=45°
∴△BOG∽△AFO．

点评 此题属于反比例函数的综合题．考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，正方形的判定以及相似三角形与等腰三角形的判定，注意掌握反比例函数的几何意义是解此题的关键．