Question

14．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，有如下四个结论：①BF=AC；②CE=$\frac{1}{2}$BF；③CE＞BG；④DG=DF；⑤连接DE，则∠DEB=45°，其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到BD=CD，根据全等三角形的性质即可得到BF=AC，故①正确；根据全等三角形的性质得到AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，等量代换得到BF=2CE，故②正确；作△DFB的中线DM，根据直角三角形的性质得到BM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AC=CE，等量代换得到CE＞BG，故③错误；根据三角形外角的性质得到∠DFG=90°-22.5°=67.5°；故④正确；推出C，B，D，E四点共圆，于是得到∠DEB=∠CDB=45°，故⑤正确．

解答 解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠ACD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDA}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，故①正确；
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BF=2CE，故②正确；
作△DFB的中线DM，
∴BM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$AC=CE，
∴BM=CE＜BG，
∴CE＞BG，故③错误；
∵∠DBG=$\frac{1}{2}∠$ABC=22.5°，∠BDG=45°，
∴∠DGF=67.5°，
∴∠DFG=90°-22.5°=67.5°；故④正确；
∵∠CEB=∠CDB=90°，∴C，B，D，E四点共圆，
∴∠DEB=∠CDB=45°，故⑤正确．
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．