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(2002•益阳)巳知:如图,在△ABC中,∠B=90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的半圆交AB于点E,与AC切于点D.当AD2+AE2=5时,AD、AE(AD>AE)是关于x的方程x2-(m-1)x+m-2=0(m≠0)的两个根.
(1)求实数m的值;
(2)证明:CD的长度是无理方程2-x=1的一个根;
(3)以B点为坐标原点,分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式.

【答案】分析:(1)本题可根据一元二次方程根与系数的关系,用m表示出AD+AE和AD•AE的值,已知了AD2+AE2=5,将式子进行适当变形后即可求出m值.
(2)本题的关键是求出CD的长,根据(1)得出的m的值,可求出AD,AE的长,根据切割线定理即可求出AB的长,在直角三角形ABC中,根据切线长定理有CD=CB,而AC=CD+AD,AB的长已求出,因此根据勾股定理即可求出CD的长,进而可判断出CD的长是否为无理方程的一个跟.
(3)本题的关键是求出D的坐标,可过D作DF⊥AB于F,那么可通过相似三角形求出DF和AF的长,也就能得出D点的坐标,然后根据A、B、D三点的坐标用待定系数法即可求出过这三点的抛物线的解析式.
解答:(1)解:∵AD、AE是关于x的方程x2-(m-1)x+m-2=0(m≠0)的两个根,则有:
AD+AE=m-1,AD•AE=m-2;
又∵AD2+AE2=5,即(AD+AE)2-2AD•AE=5;
∴(m-1)2-2(m-2)=5,即m2-4m=0;
∴m1=4,m2=0;
∵m≠0,
∴m=4.

(2)证明:将m=4代入方程x2-(m-1)x+m-2=0中,得x2-3x+2=0,
解之得:x1=2,x2=1;
而AD、AE为此方程的两根,且AD>AE.
∴AD=2,AE=1
∵AD为⊙O的切线,AB为割线.
由切割线定理,得AD2=AE•AB.
即22=1•AB;
∴AB=4.
∵∠B=90°,
∴BC为⊙O的切线.
而CD也为⊙O的切线,
因此CD=CB.
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即42+DC2=(2+CD)2
∴CD=3.
将CD=3作为x的值代入无理方程2-x=1中,得:左边=右边;
∴CD的长是无理方程2-x=1的一个根.

(3)解:过D作DF⊥AB于F,
∴CB⊥BA,
∴△AFD∽△ABC,
=
=
∴DF=
又∵
∴AF=
∴BF=4-AF=
∴以B点为坐标原点,分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则有:
A(-4,0),B(0,0),D(-),
∵过A、B、D三点的抛物线的对称轴平行于y轴.
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则有:

解得
∴过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=-x2-x.
点评:本题考查一元二次方程的根与系数的关系,二次函数解析式的确定、切割线定理、切线长定理、相似三角形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力.
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