Question

若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实根x₁、x₂，分别满足条件：0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，抛物线y=ax²+bx+c经过点（0，-2），有下列四个结论：①a+b＞2；②2a+b＜2；③a＜-1；④3a+b＞0，其中正确结论的个数为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实根x₁、x₂，分别满足条件：0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，且抛物线y=ax²+bx+c经过点（0，-2），画出二次函数y=ax²+bx+c的草图，将（0，-2）代入y=ax²+bx+c，得出c=-2，那么y=ax²+bx-2．由x=1时，y＞0，可得a+b-2＞0，进而判断①正确；由x=2时，y＜0，可得4a+2b-2＜0，根据不等式的性质得到2a+b＜1，进而判断②正确；由a+b＞2，两边同乘-1，得-a-b＜-2，又2a+b＜1，两式相加得a＜-1，即可判断③正确；由0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，根据不等式的性质得到

x1+x2

2

＜

3

2

，而

x1+x2

2

=-

b

2a

，那么-

b

2a

＜

3

2

，又a＜0，两边同乘-2a，得到b＜-3a，进而判断④错误．

解答：解：如图，∵抛物线y=ax²+bx+c经过点（0，-2），
∴c=-2，
∴y=ax²+bx-2．
①∵x=1时，y＞0，
∴a+b-2＞0，
∴a+b＞2，故①正确；
②∵x=2时，y＜0，
∴4a+2b-2＜0，
∴2a+b＜1，
∵1＜2，
∴2a+b＜2，故②正确；
③∵a+b＞2，
∴-a-b＜-2，
∵2a+b＜1，
两式相加得a＜-1，故③正确；
④∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴

x1+x2

2

＜

3

2

，
∵

x1+x2

2

=-

b

2a

，
∴-

b

2a

＜

3

2

，
∵a＜0，
∴b＜-3a，
∴3a+b＜0，故④错误．
所以正确结论的个数为3个．
故答案为3个．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．根据条件画出二次函数y=ax²+bx+c的草图，利用数形结合思想是解题的关键．