Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F．
求证：BF=AC．

Answer 1

【答案】证明：∵CD⊥AB，

∴∠BDC=∠CDA=90°；

∵∠ABC=45°，

∴∠DCB=∠ABC=45°（三角形的内角和定理），

∴DB=DC（等角对等边）；

∵BE⊥AC，

∴∠AEB=90°，

∴∠A+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互为余角）；

∵∠CDA=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠ABE=∠ACD（同角的余角相等）；

在△BDF和△CDA中，

，

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF=AC（全等三角形的对应边相等）．

【解析】要证BF=AC，就需要证明△BDF和△CDA全等，由已知条件可知它们是直角三角形。抓住题中关键的已知条件∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可得到△BDC是等腰直角三角形，得出DB=DC。再根据同角的余角相等或等角的余角相等，可得到两三角形的另一组对应角相等，即可证得结论。
【考点精析】认真审题，首先需要了解余角和补角的特征(互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关)．