A. | 1 | B. | 4-$\sqrt{10}$ | C. | 5-$\sqrt{10}$ | D. | $\sqrt{10}$-1 |
分析 连接BE,由三角形的内心得出∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD,由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD,得出∠DBC=∠BAD,再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB,所以可得BD=BE,连接OB,由三角形的内心性质得出∠BAD=∠CAD,由圆周角定理得出,由垂径定理得出BF=$\frac{1}{2}$BC=3,由圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD=∠BAC,由三角函数得出OB=5,再由勾股定理求出OF,得出DF,再由勾股定理求出BD,得出ED,即可得出结果.
解答 解:连接BE,
∵E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD,
∵∠DBC=∠CAD,
∴∠DBC=∠BAD,
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴BD=ED,
连接OB,∵点E是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=3,∠BOD=2∠BAD=∠BAC,
∵AE过点O,
∴AD⊥BC,
∴∠EFB=90°,
∵cos∠BAC=$\frac{4}{5}$,
∴sin∠BAC=sin∠BOD=$\frac{3}{5}$,
∴OB=5,
∴OD=5,
∴OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4,
∴DF=OD-OF=1,
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
∴ED=BD=$\sqrt{10}$,
∴EF=DE-DF=$\sqrt{10}$-1,
故选D.
点评 本题考查了三角形的内心性质、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识;本题有一定难度,需要运用垂径定理和两次运用勾股定理才能得出结果.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 四边相等的四边形是正方形 | B. | 四个角相等的四边形是矩形 | ||
C. | 对角线相等的四边形是菱形 | D. | 对角线互相垂直的四边形是菱形 |
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