Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=1，E为AB的中点，AC是ED的垂直平分线．
（1）求证：DB=DC；
（2）在图（2）的线段AB上找出一点P，使PC+PD的值最小，标出点P的位置，保留画图痕迹，并求出PB的值．

Answer 1

（1）证明：连接CE，
∵AC为线段ED的垂直平分线，
∴AD=AE，DC=EC，∠EAC=∠DAC=45°，
∴三角形ABC为等腰直角三角形，即AB=BC，
∵E为线段AB的中点，
∴AE=EB，即AD=BE，
又∠DAB=∠EBC=90°，
∴△ADB≌△BEC，
∴EC=BD，
∴BD=DC；

（2）解：延长线段CB，在延长线上截取BC′=BC，连接C′D，与AB交于点P，
∵E为AB中点，∴AE=EB，又AD=AE=1，∴AB=2，
由（1）得到BD=DC，即三角形DBC为等腰三角形，
过点D作DM⊥BC，垂直为M，则BM=CM=AD=1，
∴BC′=BC=2，
∵AD∥BC，
∴∠ADC′=∠C′，∠DAP=∠C′PB，
∴△APD∽△BPC′，
∴=，
设PB=x，则AP=2-x，则=，
解得：x=，则PB=．
分析：（1）连接EC，由AC垂直平分ED，根据中垂线的性质得到AD=AE，DC=EC，所以三角形AED为等腰直角三角形，即∠EAC=∠DAC=45°，进而得到△ABC为等腰直角三角形，所以AB=BC，由E为AB中点得到AE=EB，等量代换得到AD=EB，从而利用“SAS”证明△ADB≌△BEC，得到DB=EC，等量代换得证；
（2）延长线段CB，在延长线上截取BC′=BC，连接C′D，与AB的交点即为所求的点P，然后由（1得到DB=EC，即三角形DBC为等腰三角形，由AD的长求出BC的长，即为C′B的长，再由E为AB中点，AC为ED中垂线，得到AB=2AD=2，由AD∥BC，根据两直线平行，得到两对内错角相等，从而得到△APD∽△BPC′，得到对应边成比例，设PB为x，得到AP=2-x，代入比例式中即可求出PB的长．
点评：此题综合考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定以及相似三角形的判别与性质．学生作第一问时注意等量间的代换，第二问的关键是利用两点之间，线段最短和对称知识找出满足题意的P点．