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    如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．
    （1）如图②，点O等边△ABC的外心，连接OB、OC．
    ①求证：点O是△ABC内∠A的一个二倍角点；
    ②作△BOC的外接圆，求证：弧BOC上任意一点（B、C除外）都是△ABC内∠A的二倍角点．
    （2）如图③，在△ABC的边AB上求作一点M，使点M是△ABC内∠A的一个二倍角点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法）．
    （3）在任意三角形形内，是否存在一点P同时为该三角形内三个内角的二倍角点？请直接写出结论，不必说明理由．

    【答案】分析：（1）①由点O等边△ABC的外心，连接OB、OC，根据三角形外心的性质与圆周角定理，即可得∠BOC=2∠A，且点O在△ABC内，即可证得点O是△ABC内∠A的一个二倍角点；
    ②由圆周角定理可得∠BO′C=∠BOC，且点O′是△ABC的内一点，即可证得弧BOC上任意一点（B、C除外）都是△ABC内∠A的二倍角点．
    （2）作AC的垂直平分线交AB于点M，连接MC，可得AM=CM，即可得∠ACM=∠A，则∠BMC=∠A+∠ACM=2∠A，可得M是△ABC内∠A的一个二倍角点；
    （3）分别从锐角三角形、直角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
    解答：解：（1）①∵点O等边△ABC的外心，
    ∴∠BOC=2∠A，
    又∵点O在△ABC内，
    ∴点O是△ABC内∠A的一个二倍角点．…（2分）

    ②设O′弧BOC上任意一点，
    则∠BO′C=∠BOC，
    ∵∠BOC=2∠A，
    ∴∠BO′C=2∠A，
    又∵点O′是△ABC的内一点，
    ∴点O′是△ABC内∠A的二倍角点．…（4分）

    （2）如右图，作AC的垂直平分线交AB于点M，连接MC，
    则点M为所求作的点．…（6分）

    （3）ⅰ）当三角形为锐角或直角三角形时，三角形外接圆的圆心即为该三角形内三个内角的二倍角点；    …（8分）
    ⅱ）当三角形为钝角三角形时，不存在一点同时为该三角形内三个内角的二倍角点．…（10分）
    点评：此题考查了三角形外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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    已知：等边△ABC的边长为a．
    探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=
    		3
    a；
    探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
    ①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=
    		3
    2
    a；结论2． AD+BE+CF=
    3
    2
    a；
    ②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•大安市模拟）已知：如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．
    （1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
    （2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；
    （3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
    ①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”．这个同学的说法正确吗？请说明理由．
    ②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；

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    已知，如图1，在直角坐标系中，有等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，抛物线y=
    		3
    6
    (x-2)(x-6)    交x轴于点E、C（点C在点E的右侧），交y轴于点A，它的对称轴过点D，顶点为点F；
    （1）求点A、B、C、D的坐标；
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    如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．
    （1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是
    菱形
    菱形
    ；
    （2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；
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    （3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．

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