Question

11．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F．若AB=9，F是CD的三等分点，则BC=6$\sqrt{2}$+3或3$\sqrt{2}$+6．

Answer 1

分析 先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出比例式，用F是CD的三等分点，分两种情况：DF=2CF和CF=2DF进行讨论计算得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．

解答 解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE=9$\sqrt{2}$，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=9$\sqrt{2}$，
∵∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，
∴△EFD∽△GFC
∴①当DF=2CF时，
$\frac{CG}{DE}=\frac{CF}{DF}$=$\frac{CF}{2CF}$=$\frac{1}{2}$，
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴9$\sqrt{2}$=9+2x+x
解得x=3$\sqrt{2}$-3，
∴BC=9+2（3$\sqrt{2}$-3）=6$\sqrt{2}$+3，
②当DF=$\frac{1}{2}$CF时，
$\frac{CG}{DE}=\frac{CF}{DF}$=$\frac{CF}{\frac{1}{2}CF}$=2，
设DE=x，
∴CG=2x，则AD=9+x=BC
∵BG=BC+CG
∴9$\sqrt{2}$=9+2x+x
解得x=3$\sqrt{2}$-3，
∴BC=9+（3$\sqrt{2}$-3）=3$\sqrt{2}$+6，
故答案为：6$\sqrt{2}$+3或3$\sqrt{2}$+6．

点评 此题主要考查了矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是得出BG=BE，要分两种情况讨论计算，易丢掉第二种情况．