Question

最近，新乡市政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，销售时售价不低于成本价但又不能高于每千克25元，经市场调查发现每天的销售量y（千克）与所售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图所示）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该农户每天所获得的利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，w的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由函数的图象可知y与x是一次函数的关系，所以可设y=kx+b，把（22，36）和（24，32）分别代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用每千克销售利润×销售量=总销售利润列出函数关系式，整理即可解答，再利用配方法即可求出如何定价每天获得的利润最大，及最大利润是多少．

解答：解：（1）设y=kx+b，把（22，36）和（24，32）分别代入，得：

22k+b=36 24k+b=32

，
解得：

k=-2 b=80

，
∴y与x的关系式为y=-2x+80；

（2）由题意知：w=（x-20）•y=（x-20）•（-2x+80）=-2x²+120x-1600，
∴w与x的关系式为：y=-2x²+120x-1600（20≤x≤25）．
∵w=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
∴当20≤x≤25时，在对称轴的左侧，w随x的增大而增大
当x=25时，w的值最大为-2×25+200=150元．
答：w与x之间的函数关系式：y=-2x²+120x-1600（20≤x≤25），当x取25时，w的值最大，最大值是150元．

点评：本题考查的是一次函数和二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值时，注意自变量的取值范围，如果顶点横坐标的值不在自变量的取值范围之内，需根据二次函数的增减性进行判断．