Question

16．如图，已知∠MBN=60°，在BM，BN上分别截取BA=BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，求证：∠PQC=90°．

Answer 1

分析 （1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；
（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．

解答 （1）解：AP=CQ；理由如下：
连接PQ，如图所示：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBQ}&{\;}\\{BP=BQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
（2）证明：设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
在△PBQ中，∵PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PQ=4a，
在△PQC中，∵PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²，
∴△PQC为直角三角形，即∠PQC=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP≌△CBQ是解题的关键．