Question

在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，DE⊥DC，CE交BD于F，
（1）求证：ED平分∠AEC；
（2）当∠BEC=60°，且AE=1时，求矩形ABCG的面积；
（3）当BE=BC，求证：BD平分∠CDE．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）延长ED交CG延长线于点H，证明△AED≌△GDH，得到ED=DH，即可证明△CED≌△CHD，即∠ECD=∠DCG，即可得到ED平分∠AEC；
（2）由∠BEC=60°，且AE=1时，结合（1）可以求得AD的长度，由AD=DC，可以求得AC的长度，由AC=BC，继而求得BE的长度，据此可以求得四边形ABCD的面积．
（3）利用四边形BCDE是圆的内接四边形得出BD平分∠CDE．

解答：解：（1）延长ED交CG延长线于点H，
∵AB∥CG，∴∠AED=∠DHG，
在△ADE和△DGH中

∠AED=∠DHG ∠A=∠DCH DA=DG

，
∴△ADE≌△DGH．
∴DE=DH，
又∵DE⊥DC，∴∠CDE=∠CDH=90°，
在△CDE和△CDH中

CD=CD ∠CDE=∠CDH DE=DH

∴△CDE≌△CDH，∠CED=∠CHD，
∴∠CED=∠CHD，
∴ED平分∠AEC；

（2）∵∠BEC=60°，ED平分∠AEC；
∴∠CED=∠AED=60°，
∵AE=1，∴tan∠AED=

AE

AD

=

3

3

，
AD=

3

，
又∵AD=DG
∴AG=BC=2

3

，
∴BE=2，
∴AB=3
∴S四边形ABCD=BC•AB=2

3

×3=6

3

．
（3）∵四边形ABCG是矩形，DE⊥DC，
∴∠EBD+∠EDC=90°+90°=180°，
∠BED+∠EDC=180°，
∴BCDE是圆的内接四边形，
又∵BE=BC，
∴∠EDB=∠CDB，
∴BD平分∠CDE．

点评：本题主要考查矩形的性质及相似三角形的知识，也可运用圆的内接四边形求解．解答本题的关键要学会用辅助线构造全等三角形．